Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求的取值范围；

（3）证明：

Answer 1

【答案】(1) 极大值点，无极小值点(2) (3)证明见解析

【解析】

（1），当时，由，得，则 在上是增函数，在上无极值点．当时，有倒数的符号可得在， 上是增函数，在， 上是减函数，故 时，取得极大值．

（2）由（1）可知只需考虑，即可，化简得：．

（3）由（2）知，当时，，，则，，将不等式放缩，再利用裂项相消求和即可得证.

（1）的定义域为，

若，则，在单增，所以无极值点；

若，令，得，

当时，，在单增，

当时，，在单减，

所以有极大值点，无极小值点

（2）由（1）知当时，在单增，又，所以不成立；

当时，，

若恒成立，只需，解得，

所以的取值范围是

（3）证明：由（2）知，当时，，，则

，

，，得证.