Question

19．设m∈R，过定点A的动直线mx+y-1=0与过定点B的动直线x-my+m+2=0交于点P（x，y），则|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的
最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 由动直线mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．|AB|=2．当PA⊥PB时，$|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}$=|AB|²=4，利用|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2[|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}]}$即可得出．

解答 解：由动直线mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+0}$=2．
∴当PA⊥PB时，$|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}$=|AB|²=4
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2[|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}]}$=$\sqrt{2×{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当$|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|$=$\sqrt{2}$时取等号．
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最大值为2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了直线系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．