Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（1）若b=2，求△ABC的面积的最大值；    
（2）求

3

sinA+sin（C-

π

6

）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，
（1）根据余弦定理，由b，cosB和基本不等式，求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式，即可得到最大值；
（2）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．

解答： 解：由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
由B，C∈（0，π），则2cosB-1=0，
所以B=60°；
（1）由b²=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac，
即ac≤4，当且仅当a=c=2，取得最大值4．
所以△ABC的面积S=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，
即有面积的最大值为

3

；
（2）因为

3

sinA+sin（C-

π

6

）=

3

sinA+sin（

π

2

-A）
=

3

sinA+cosA=2sin（A+

π

6

）
又A∈（0，

2π

3

），即有A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
即有sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则

3

sinA+sin（C-

π

6

）=2sin（A+

π

6

）∈（1，2]．

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．