Question

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=    ．

Answer 1

【答案】分析：作AA₁⊥x轴，BB₁⊥x轴．则可知AA₁∥OF∥BB₁，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x_A+x_B和x_Ax_B的表达式，进而可求得x_Ax_B=-（）²，整理后两边同除以x_B²得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．
解答：解：如图，作AA₁⊥x轴，
BB₁⊥x轴．
则AA₁∥OF∥BB₁，
∴==，
又已知x_A＜0，x_B＞0，
∴=-，
∵直线AB方程为y=xtan30°+
即y=x+，
与x²=2py联立得x²-px-p²=0
∴x_A+x_B=p，x_A•x_B=-p²，
∴x_Ax_B=-p²=-（）²
=-（x_A²+x_B²+2x_Ax_B）
∴3x_A²+3x_B²+10x_Ax_B=0
两边同除以x_B²（x_B²≠0）得
3（）²+10+3=0
∴=-3或-．
又∵x_A+x_B=p＞0，
∴x_A＞-x_B，
∴＞-1，
∴=-=-（-）=．
故答案为：
点评：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．