题目内容

直线AB过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．
（Ⅰ）求
MA
•
MB
的取值范围；
（Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：
MN
•
OF
=0，
NQ
∥
OF
；
（Ⅲ）若p是不为1的正整数，当
MA
•
MB
=4P2，△ABN的面积的取值范围为[5
5
，20
5
]时，求该抛物线的方程．
分析：（Ⅰ）由条件得M（0，-
p
2
），F（0，
p
2
）．设直线AB的方程为y=kx+
p
2
，A（x1，y1），B（x2，y2），则x12=2py1，x22=2py2，Q（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）．由
y=kx+
p
2
x2=2py
得x2-2pkx-p2=0．由韦达定理能够推导出
MA
•
MB
的取值范围．
（Ⅱ）抛物线方程可化为y=
1
2p
x2，求导得y=
1
p
x．kNA=y
x1
p
，kNB═y
x2
p
．切线NA的方程为：y-
x12
2p
=
x1
p
(x-x1)，切线NB的方程为：y=
x2
p
x-
x22
2p
．由
y=
x1
p
x-
x12
2p
y=
x2
p
x-
x22
2p
解得N（
x1+x2
2
，
x1x2
2p
），从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．由此能够证明
MN
•
OF
=0，
NQ
∥
OF
．
（Ⅲ）由
MA
•
MB
=4p2．又根据
MA
•
MB
=p2k2，知4p2=p2k2，而p＞0，k2=4，k=±2．由
NF
=（-pk，p），
AB
=(x2-x1，y2-y1) =(x2-x1)(1+
x1+x2 )
2p
=（x2-x1）（1，k），知
NF
•
AB
=(-pk，p)(x2-x1) (1，k)=(x2-x1)  (-pk-pk)=0，从而
NF
⊥
AB
．由此能够求出抛物线的方程．
解答：解：（Ⅰ）由条件得M（0，-
p
2
），F（0，
p
2
）．设直线AB的方程为
y=kx+
p
2
，A（x1，y1），B（x2，y2）
则x12=2py1，x22=2py2，Q（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）．（2分）
由
y=kx+
p
2
x2=2py
得x2-2pkx-p2=0．
∴由韦达定理得x1+x2=2pk，x1•x2=-p2（3分）
从而有y1y2=
x12x22
4p2
=
p2
4
，y1+y2=k（x1+x2）+p=2pk2+p．
∴
MA
•
MB
的取值范围是[0，+∞）．（4分）
（Ⅱ）抛物线方程可化为y=
1
2p
x2，求导得y=
1
p
x．
∴kNA=y
x1
p
，kNB═y
x2
p
．
∴切线NA的方程为：y-
x12
2p
=
x1
p
(x-x1)即y=
x1
p
x-
x12
2p
．
切线NB的方程为：y=
x2
p
x-
x22
2p
（6分）
由
y=
x1
p
x-
x12
2p
y=
x2
p
x-
x22
2p
解得
x=
x1+x2
2
y=
x1x2
2p
∴N（
x1+x2
2
，
x1x2
2p
）
从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．
∴NQ∥OF．即
NQ
∥
OF
（7分）
又由（Ⅰ）知x1+x2=2pk，x1•x2=-p2，
∴N（pk，-
p
2
）．（8分）
而M（0，-
p
2
）∴
MN
=(pk，0)
又
OF
=(0，
p
2
)．∴
MN
•
OF
=0．（9分）
（Ⅲ）由
MA
•
MB
=4p2．又根据（Ⅰ）知
MA
•
MB
=p2k2
∴4p2=p2k2，而p＞0，∴k2=4，k=±2．（10分）
由于
NF
=（-pk，p），
AB
=(x2-x1，y2-y1) =(x2-x1)(1+
x1+x2 )
2p
=（x2-x1）（1，k）
∴
NF
•
AB
=(-pk，p)(x2-x1) (1，k)=(x2-x1)  (-pk-pk)=0
从而
NF
⊥
AB
．（11分）
又|
NF
|=
p2k2+p2
=
5
p，|
AB
|=y1+y2+p=2pk2-2p=10p，
∴S△ABN=
1
2
|NF||AB|=
1
2
×
5
p×10p=5
5
p2．
而S△ABN的取值范围是[5
5
，20
5
]．
∴5
5
≤5
5
，p2≤20
5
，1≤p2≤4．（13分）
而p＞0，∴1≤p≤2．
又p是不为1的正整数．
∴p=2．
故抛物线的方程：x2=4y．（14分）．
点评：本题考查数量积的取值范围、向量平行和垂直的证明、抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、导数性质、向量运算和距离公式的灵活运用．
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   （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

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        求证：；

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（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：=0，∥；
（Ⅲ）若p是不为1的正整数，当=4P2，△ABN的面积的取值范围为[5，20]时，求该抛物线的方程．

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