Question

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作直线l₁交抛物线于A、B两点．O为坐标原点．
（1）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程；
（2）若l₁倾斜角为30°，则在抛物线准线l₂上是否存在点E，使得△ABE为正三角形，若存在，求出E点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出过点A的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，利用△=0，求出k，再代回切线方程，求C点坐标，这样就可找到AC中点的坐标，进而求出中点M的轨迹方程．
（2）假设存在符合题意的点E．由已知l₁：y-

p

2

=

3

3

x  联立抛物线方程有：x²=2p（

3

3

+

p

2

），故可求A，B的坐标．欲使△ABE为正△，则k_BE不存在．从而可知不存在符合条件的点E．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），过点A的切线方程为y=k（x-x₁）+y₁
由

y=k(x-x1)+y1 x2=2py

得x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0
令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0
解得k=

1

p

x1
∴切线方程为y=

1

p

x1(x-x1)+y1
令x=0，得y=-

x12

p

+y1=-2y1+y1=-y1
∴线段AC中点M为（x，0）
∴点M的轨迹方程为y=0（x≠0）
（2）假设存在符合题意的点E．
由已知l₁：y-

p

2

=

3

3

x  联立抛物线方程有：x²=2p（

3

3

+

p

2

）
∴x²-

2 3

3

px-p2=0
∴x₁=-

3 p

3

，x₂=

3

p  
故A（-

3

3

p，

p

6

），B（

3

p，

3

2

p）
∵△ABE为正△
∴k_AE=-

3

3

∴AE：y-

p

6

=-

3

3

（x+

3

3

p）  即y=-

3

3

x-

p

6

准线l₂：y=-

p

2

∴E（-

p

2

，

3

p）
欲使△ABE为正△，则k_BE不存在．即x_B=x_E不符合
∴不存在符合条件的点E．

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是直线与抛物线方程联立，转化为一元二次方程求解．