Question

函数f（θ）=sin2θ+2（sinθ+cosθ）+3（θ∈R）的值域为

 

．

Answer 1

分析：利用倍角公式和换元法，可将求函数f（θ）=sin2θ+2（sinθ+cosθ）+3（θ∈R）的值域，转化为求二次函数在定区间上的值域问题，进而利用二次函数的图象和性质进行解答．

解答：解：f（θ）=sin2θ+2（sinθ+cosθ）+3
=sin²θ+cos²θ+2sinθ•cosθ+2（sinθ+cosθ）+2
=（sinθ+cosθ）²+2（sinθ+cosθ）+2
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），则t∈[-

2

，

2

]
则y=f（θ）=t²+2t+2，t∈[-

2

，

2

]
∵y=t²+2t+2的图象是开口朝上，且以直线t=-1为对称轴的抛物线
故当t=-1时，函数y=f（θ）=t²+2t+2取最小值1；
当t=

2

时，函数y=f（θ）=t²+2t+2取最大值4+2

2

；
故函数的值域为[1，4+2

2

]
故答案为：[1，4+2

2

]

点评：本题考查的知识点是函数的值域，和差角公式，二倍角公式，是二次函数和三角函数的综合应用，难度中档．