Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的部分对应值如下表：

x	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3π 4
y	0	1	1 2	0	-1	0

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x-

π

4

）+

3

f(x)，x∈[-

π

4

，

π

4

]，求h（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由表格给出的信息知T=π，从而可求得ω=2，再由sin（2×（-

π

4

）+φ）=0与0＜φ＜π，可得φ=

π

2

，于是可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）易求h（x）=2sin（2x+

π

3

），x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性与最值可求得函数y=h（x）的值域，从而得其最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由表格给出的信息可以知道，函数f（x）的周期为T=

3π

4

-

π

4

=π，
∴ω=

2π

π

=2．由sin（2×（-

π

4

）+φ）=0，且0＜φ＜π，得φ=

π

2

．
∴函数解析式为f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．  
（Ⅱ）h（x）=f（x-

π

4

）+

3

f（x）=cos（2x-

π

2

）+

3

cos2x=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
又x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]
sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，-1≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴函数h（x）的最大值是2，最小值是-1．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦函数的单调性，属于中档题．