Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）f（x-

π

4

），求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由图象知，周期的四分之一为

π

4

，故周期为T=π，用公式可求出ω的值，又图象过（

π

4

，0），将其代入方程即可解得∅的值．
（2）整理出g（x）的表达式，变形为y=asin（ωx+∅）+k的形式，利用其单调性求函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）由图可知T=4(

π

2

-

π

4

)=π，ω=

2π

T

=2，（2分）
又由f(

π

2

)=1得，sin（π+∅）=1，又f（0）=-1，得sinφ=-1
∵|∅|＜π∴?=-

π

2

，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=sin(2x-

π

2

)=-cos2x（6分）
因为g(x)=(-cos2x)[-cos(2x-

π

2

)]=cos2xsin2x=

1

2

sin4x（9分）
所以，2kπ-

π

2

≤4x≤2kπ+

π

2

，即

kπ

2

-

π

8

≤x≤

kπ

2

+

π

8

(k∈Z)（12分）
故函数g（x）的单调增区间为[

kπ

2

-

π

8

，

kπ

2

+

π

8

](k∈Z)．（13分）

点评：考查识图的能力与利用 三角恒等变换进行变形的能力，以及形如y=asin（ωx+∅）+k的三角函数求单调区间的方法．