题目内容
已知x1，x2是函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x1，x2之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x1∈（-2，2），试确定b的取值范围．
解：（1）由题意可得
即b2-4ac=4a2，所以
所以|x1-x2|=2…5'
（2）由f（x）＜0得
，g（x）=ax2+（b+2）x+1，对称轴为
从而有
，故有a＞1…8'
（3）
∈（-2，2），从而有
，
…10'
所以
或
从而有
，|b|＜6a，b2＜36a2，
因为b2=4a+4a2，所以4a+4a2＜36a2，
，b2=4a+4a2
所以b的取值范围为
…16'
分析：（1）由二次函数的最小值可得b2-4ac=4a2，由求根公式可得结论；
（2）由二次函数的对称轴结合图象可知在对称轴处取到最小值；（3）由b2=4a+4a2，可得，从而得到b的范围．
点评：本题为二次函数问题，数量运用数形结合是解决问题的关键，属中档题．
即b2-4ac=4a2，所以所以|x1-x2|=2…5'
（2）由f（x）＜0得
，g（x）=ax2+（b+2）x+1，对称轴为从而有
，故有a＞1…8'（3）
∈（-2，2），从而有，…10'所以
或从而有，|b|＜6a，b2＜36a2，因为b2=4a+4a2，所以4a+4a2＜36a2，
，b2=4a+4a2所以b的取值范围为
…16'分析：（1）由二次函数的最小值可得b2-4ac=4a2，由求根公式可得结论；
（2）由二次函数的对称轴结合图象可知在对称轴处取到最小值；（3）由b2=4a+4a2，可得
，从而得到b的范围．点评：本题为二次函数问题，数量运用数形结合是解决问题的关键，属中档题．
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