Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CC₁=3，BC=4，G是AB₁和A₁B的交点，若C₁G⊥A₁C．
（I） 求CA的长．
（II） 求点A到平面A₁BC₁的距离；
（III） 求二面角C₁-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：（I）轴建立空间直角坐标系，设出点的坐标，即可得到

C1G

=（2，-

3

2

，-

h

2

），

A1C

=（0，-3，-h），进而结合题意得到h=3．
（II）设平面A₁BC₁得法向量

n1

=（a，b，c），根据题意求出

n1

=（3，4，0），递减向量的射影进而求出点A到平面A₁BC₁的距离．
（III）设平面A₁BC的法向量为

n2

=（x，y，z），由题意可得

n2

=（0，1，-1），再利用向量之间的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角得到答案．

解答：解：（I）分别以直线C₁B₁、CC₁、C₁A₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设|CA|=h，则C₁（0，0，0），B₁（4，0，0），B（4，-3，0），C（0，-3，0），A₁（0，0，h），A（0，-3，h），G（2，-

3

2

，-

h

2

）
∴

C1G

=（2，-

3

2

，-

h

2

），

A1C

=（0，-3，-h）
∴

C1G

•

A1C

=0，
∴h=3
（II）设平面A₁BC₁得法向量

n1

=（a，b，c），
由题意可得：

C1A1

=(0，0，3)，

C1B

=(4，-3，0)
所以

C1A1 •  n1 =0 C1B • n1 =0

，即

c=0 4a-3b=0

，
 则取

n1

=（3，4，0），
∴点A到平面A₁BC₁的距离为h=|

(0，-3，-3)•(3，4，0)

5

|=

12

5

…（8分）
（III）设平面A₁BC的法向量为

n2

=（x，y，z），
由题意可得：

CB

=(4，0，0)，

CA1

=(0，3，3)，
所以

CB • n2  =0 CA1 • n2 =0

，即

x=0 y+z=0

，
 则可求得

n2

=（0，1，-1），
∴二面角C₁-A₁B-C的大小θ满足cosθ=

(3，4，0)•(0，1，-1)

5× 2

=

2 2

5

∴二面角C₁-A₁B-C的大小为arccos

2 2

5

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到面的距离，以及求线段的长度问题，其中建立适当的空间坐标系，将问题转化为向量夹角及向量长度问题是解答本题的关键．