Question

5．已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f₁'（x），…，f_n+1（x）=f_n'（x），…，则${f_1}（\frac{π}{3}）+{f_2}（\frac{π}{3}）+{f_3}（\frac{π}{3}）+…+{f_{2017}}（\frac{π}{3}）$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数求导法则求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，每四项的和0，然后利用函数的周期性进行求解即可．

解答 解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x），
即函数f_n+1（x）是周期为4的周期函数，
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴${f_1}（\frac{π}{3}）+{f_2}（\frac{π}{3}）+{f_3}（\frac{π}{3}）+…+{f_{2017}}（\frac{π}{3}）$=f₂₀₁₇（$\frac{π}{3}$）=f₁（$\frac{π}{3}$）=sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性是解决本题的关键．