Question

20．已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{（{a_n}-5）•{2^{a_n}}}\right\}$的前n项和T_n
（3）设n∈N^*，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，解可求出通项可求a_n；由b_n+2-2b_n+1+b_n=0⇒b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，从而可得数列b_n为等差数列，结合题中所给条件可求公差d，首项b₁，进一步可求数列的通项．
（2）由（I）可知数列$\left\{{（{a_n}-5）•{2^{a_n}}}\right\}$分别为等差、等比数列，对数列求和用错位相减，
（3）当n∈N^*，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}n+5，n为奇数\\ 3n+2，n为偶数\end{array}$，分类讨论即可求出m的值．

解答 解：（1）∵点（n，$\frac{Sn}{n}$）在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上，
∴$\frac{Sn}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{11}{2}$，
即S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{11}{2}$n，
所以a₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5．
且a₁=6也适合，
所以a_n=n+5
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n=…=b₂-b₁．
∴数列{b_n}是等差数列，
∵b₃=11，它的前9项和为153，
设公差为d，则b₁+2d=11，9b₁+$\frac{9×8}{2}$×d=153，
解得b₁=5，d=3．
∴b_n=3n+2，
（2）令${c_n}=（{a_n}-5）•{2^{a_n}}=n•{2^{n+5}}=32n•{2^n}$，
∴${T_n}=32（1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}）$，
$2{T_n}=32（1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n•{2^{n+1}}）$，
则$-{T_n}=32（2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}）$，
∴${T_n}=32（n-1）{2^{n+1}}+64$
（3）当n∈N^*，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{{b}_{n}，n为偶数}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}n+5，n为奇数\\ 3n+2，n为偶数\end{array}$
当m为奇数时，m+15为偶数，则有3（m+15）+2=5（m+5），解得m=11
当m为偶数时，m+15为奇数．若f（m+15）=5f（m）成立，m+15+5=5（3m+2），此时不成立
所以当m=11时，f（m+15）=5f（m）．

点评 本题主要考查了等差数列及等比数列的通项公式、定义，属于对基本概念、基本公式的考查，还考查了求和方法的乘公比错位相减求和，属于中档题．