Question

6．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=$\frac{2}{x}$-1．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）求当x＜0时，函数的解析式．
（3）用分段函数形式写出函数f（x）在R上的解析式．当f（a）=3时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）在（0，+∞）上任取x₁．x₂，且0＜x₁＜x₂，利用作差法，可判断函数的单调性；
（2）设x＜0，则-x＞0，结合函数的奇偶性，可得当x＜0时，函数的解析式．
（3）根据（2）中结论，可得函数的解析式，分类讨论满足条件f（a）=3的a值，综合讨论结果可得答案．

解答 解　（1）在（0，+∞）上任取x₁．x₂，且0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{2}{{x}_{1}}$-1）（$\frac{2}{{x}_{2}}$-2）…（2分）
=$\frac{2（x2-x1）}{x1x2}$，…（4分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，…（6分）
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数…（7分）
（2）设x＜0，则-x＞0，…
∴f（-x）=-$\frac{2}{x}$-1，…（2分）
又f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-$\frac{2}{x}$-1，…（4分）
即f（x）=$\frac{2}{x}$+1（x＜0）…（6分）
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}-1（x＞0）\\ 0（x=0）\\ \frac{2}{x}+1（x＜0）\end{array}\right\}$…（3分）
当a＞0时，$\frac{2}{a}-1=3⇒a=\frac{1}{2}$…（5分）
当a＜0时，$\frac{2}{a}+1=3⇒a=1$（舍）…（7分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．