Question

4．已知抛物线y²=4x的焦点为点F，过焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为$\sqrt{6}$，则|AB|=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用△AOB的面积．求出直线的斜率，然后求解|AB|，

解答 解：抛物线y²=4x焦点为F（1，0），
设过焦点F的直线为：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$⇒可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
y_A+y_B=$\frac{4}{k}$，y_Ay_B=-4，|y_A-y_B|=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$
△AOB的面积为$\sqrt{6}$，可得：$\frac{1}{2}$|y_A-y_B|=$\sqrt{6}$，
$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}=2\sqrt{6}$，解得k=$±\sqrt{2}$
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•，|y_A-y_B|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}×2\sqrt{6}=6$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键，属于中档题，