Question

【题目】已知是正项数列的前项和，，.

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，数列的前项和，

①求证：；

②解关于的不等式：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，

【解析】

（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；

（2）①，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证；

②原不等式化为，即，运用二项式定理和不等式的性质，可得解集．

（1）证明：是正项数列的求和，，，

可得，则，

当时，，又，

两式相减可得，

化为，

由正项数列，可得，

可得数列是首项和公差均为1的等差数列；

（2）①证明：，前项和，

，

两式相减可得，

化为，

可得；

②即，

化为，即，

，

可得时；时，；不成立，

故原不等式的解集为，．