Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=x2﹣ax．
（1）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值m（t）；
（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），A（x1 ， h（x1）），B（x2 ， h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图象上任意两点，且满足 ＞1，求实数a的取值范围；
（3）若x∈（0，1]，使f（x）≥ 成立，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，令f'（x）=0，则x=1，

当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为f（t）=t﹣lnt；

当0＜t＜1时，f（x）在区间（t，1）上为减函数，在区间（1，t+1）上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=1．

综上，当0＜t＜1时，m（t）=1；当t≥1时，m（t）=t﹣lnt

（2）解：h（x）=x2﹣（a+1）x+lnx，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），不妨取x1＜x2，则x1﹣x2＜0，

则由 ，可得h（x1）﹣h（x2）＜x1﹣x2，

变形得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，

令F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+lnx，

则F（x）=x2﹣（a+2）x+lnx在（0，+∞）上单调递增，

故 在（0，+∞）恒成立，

∴ 在（0，+∞）恒成立．

∵ ，当且仅当 时取“=”，∴

（3）解：∵ ，∴a（x+1）≤2x2﹣xlnx．

∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，

∴x∈（0，1]使得 成立．

令 ，则 ，

令y=2x2+3x﹣lnx﹣1，则由 ，可得 或x=﹣1（舍）．

当 时，y'＜0，则y=2x2+3x﹣lnx﹣1在 上单调递减；

当 时，y'＞0，则y=2x2+3x﹣lnx﹣1在 上单调递增．

∴ ，∴t'（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立．

∴t（x）在（0，1]上单调递增．则a≤t（1），即a≤1．

∴实数a的最大值为1．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，分t≥1和0＜t＜1讨论函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的单调性，由单调性求得最小值；（2）由 ＞1，可得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，构造函数F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+lnx，可知F（x）在（0，+∞）上单调递增，由其导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立求得实数a的取值范围；（3）把f（x）≥ 变形，分离参数a，然后构造函数 ，利用导数求其最大值得答案．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．