Question

11．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{|{lgx}|（0＜x≤10）}\\{-\frac{1}{2}x+6（x＞10）}\end{array}}\right.$若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则$3ab+\frac{c}{{{a^2}{b^2}}}$的取值范围是（　　）

• A． （4，13）
• B． （8，9）
• C． （23，27）
• D． （13，15）

Answer 1

分析 画出图象得出当f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c时，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化简3ab+$\frac{c}{{{a}^{2}b}^{2}}$=3+c，即可求解范围

解答 解：函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{|{lgx}|（0＜x≤10）}\\{-\frac{1}{2}x+6（x＞10）}\end{array}}\right.$，

f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，
∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，
∴3ab+$\frac{c}{{{a}^{2}b}^{2}}$=3+c，
13＜3+c＜15，
故选：D．

点评 本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，不等式的运用，属于中档题