Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，-sinβ）．
（1）若|

a

+

b

|=

2

，求证：

a

⊥

b

；
（2）若

c

=（

1

2

，

1

3

），

a

+

b

=

c

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的模的公式和向量的平方即为模的平方，结合向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）首先由向量的加法的运算，再由平方法和同角的平方关系及两角和的余弦公式，计算即可得到．

解答： （1）证明：

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，-sinβ），
则|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+1+2 a • b

=

2

，
即有

a

•

b

=0，
即

a

⊥

b

；
（2）解：若

c

=（

1

2

，

1

3

），

a

+

b

=

c

，
则cosα+cosβ=

1

2

，sinα-sinβ=

1

3

，
两式平方相加可得，
cos²α+sin²α+cos²β+sin²β+2（cosαcosβ-sinαsinβ）=

13

36

，
即2+2cos（α+β）=

13

36

，
则有cos（α+β）=-

59

72

．

点评：本题主要考查向量的数量积的性质和向量的模的求法，同时考查同角的平方关系及两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．