Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式结合首项求出前5项，分析得到数列{a_n}的前两项等于项数，从第三项起，项的分子与分子，分母与分母的差构成等差数列，利用累加法分别求出分子和分母的通项，作比后得答案．

解答： 解：由a₁=1，a_n=

1

an-1

+1，得
a2=

1

a1

+1=2，
a3=

1

a2

+1=

1

2

+1=

3

2

，
a4=

1

a3

+1=

2

3

+1=

5

3

，
a5=

1

a4

+1=

3

5

+1=

8

5

，
∴数列{a_n}的前两项等于项数，从第三项起，
项的分子与分子，分母与分母的差构成等差数列，
由累加法求得an=

n2-3n+6

n2-5n+10

(n≥3)．
∴a_n=

n(n=1，2) n2-3n+6 n2-5n+10 (n≥3)

．
故答案为：

n(n=1，2) n2-3n+6 n2-5n+10 (n≥3)

．

点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，关键是对规律的发现，是中档题．