Question

已知椭圆E：，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：设椭圆E的内接平行四边形为如图的四边形ABCD，根据椭圆方程算出两个焦点的坐标，从而设AB方程为y=k（x+），与椭圆方程联解消去y得（1+4k²）x-8k²x+4（3k²-1）=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根与系数的关系与弦长公式算出|AB|=．设CD方程为y=k（x-），利用平行线的距离公式算出直线AB、CD的距离为d=，从而得到平行四边形ABCD的面积S=|AB|×d=8•．最后采用换元法结合基本不等式求最值，即可求出当且仅当k=时，平行四边形ABCD的面积S取得最大值为4．
解答：解：根据椭圆E方程，可得焦点坐标分别为F₁（-），F₂（）
设椭圆E的内接平行四边形为四边形ABCD，如图所示
直线AB方程为y=k（x+），直线CD方程为y=k（x-），
则由消去y，得（1+4k²）x-8k²x+4（3k²-1）=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
由此可得|x₁-x₂|==
∴|AB|=|x₁-x₂|=
由平行线之间的距离公式，得直线AB、CD的距离为d=
因此，平行四边形ABCD的面积S=|AB|×d=8•
令t===
再令=s，显然当k²时，s＞0，t=＞，此时可取到最大值．
∵t==≤=
∴平行四边形ABCD的面积S=8•≤=4，
当且仅当k=时，平行四边形ABCD的面积S取得最大值为4
故答案为：4
点评：本题给出椭圆的内接平行四边形，在已知两个焦点在平行四边形的对边上时，求平行四边形面积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．