Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）的离心率e=

2

2

，且经过点（

6

，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=-4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，可得a²=2b²，利用椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（

6

，1），我们有

6

a2

+

1

b2

=1，从而可求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）连接OM，OP，OQ，设M（-4，m），由圆的切线性质及∠PMQ=60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°，从而可求M（-4，4），进而以OM为直径的圆K的方程为（x+2）²+（y-2）²=8与圆O：x²+y²=8联立，两式相减可得直线PQ的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²①
∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（

6

，1），
∴

6

a2

+

1

b2

=1②
①代入②可得b²=4
∴a²=2b²=8
∴椭圆E的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）连接OM，OP，OQ，设M（-4，m）
由圆的切线性质及∠PMQ=60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°
∵|OP|=2

2

，∴|OM|=4

2

∴

16+m2

=4

2

∵m＞0，∴m=4
∴M（-4，4）
∴以OM为直径的圆K的方程为（x+2）²+（y-2）²=8
与圆O：x²+y²=8联立，两式相减可得直线PQ的方程为：x-y+2=0

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，解题的关键是确定M的坐标，进而确定以OM为直径的圆K的方程．