题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ （a＞b＞0）它的两个焦点为F₁（-5 $数学公式$ ，0），F₂（5 $数学公式$ ，0），P为椭圆E上一点（点P在第三象限），且△F₁ F₂的周长等于20+10 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆经过椭圆E的左顶点M与点C（-2，0），直线MP交圆P于另一点N，试在椭圆E上找一点A，使得 $数学公式$ 取得最小值，并求出最小值．

解：（I）由题意可得，|F₁F₂|=10 $\text{[math]}$ =2c，又|PF₁|+|PF₂|=2a
则有2a+2c=20+10 $\text{[math]}$
∴a=10
由b²=a²-c²=25
∴椭圆E的标准方程为 $\text{[math]}$
（II）由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），设P（m，n），则有m= $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
∴n=-4即P（-6，-4）
∵P为MN的中点，可得N（-2，-8），设A（x，y）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
=x²+12x+20+y²+8y
=（x+6）²+（y+4）²-32
当且仅当x=-6，y=-4时，即当A，P重合时， $\text{[math]}$ 最小
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），设A（x，y）， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴当A，P重合时， $\text{[math]}$ 最小
分析：（I）由题意可得，|F₁F₂|=10 $\text{[math]}$ =2c，又|PF₁|+|PF₂|=2a，结合2a+2c=20+10 $\text{[math]}$ 可求a，c，然后由b²=a²-c²可求b，进而可求椭圆方程
（II）法一：由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），设P（m，n），则由圆的性质可得m= $\text{[math]}$ ，结合P在椭圆上可求m，n，即可得P，由题意P为MN的中点，可得N设A（x，y），然后代入 $\text{[math]}$ =（x+6）²+（y+4）²-32，可求
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），设A（x，y）， $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可求最小值
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，用待定系数法求出椭圆标准方程及向量的数量积的坐标表示是解题的关键．