Question

【题目】设函数，其中．

（1）当时，恒成立，求的取值范围；

（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；

（2） 综上，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，则时，

在区间恒成立，解此不等式组即可；

（2）令则求函数的极值点的个数求函数实根的个数，当时，函数是常数函数，无根；当时，讨论二次函数在区间根的情况即可.

试题解析：（1） ，

令，要使，则使即可，而是关于的一次函数，

∴，解得或，

所以的取值范围是

（2）令，

当时，，此时，函数在上递增，无极值点；

当时，，

①当时，，函数在上递增，无极值点；

②当时，，设方程的两个根为（不妨设），

因为，所以，由，∴，

所以当，函数递增；

当，函数递减；

当，函数递增；因此函数有两个极值点，

当时，，由，可得，

所以当，函数递增；

当，函数递减；因此函数有一个极值点，

综上，当时，函数有一个极值点；

当时，函数无极值点；

当时，函数有两个极值点