Question

如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆O_n的面积为a_n（n∈N）．
（Ⅰ）证明{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记r_n为圆O_n的半径，
则r1=

l

2

tan30°=

3

6

l，rn=

1

3

rn-1(n≥2)，
于是

an

an-1

=(

rn

rn-1

)2=

1

9

，
由此可知{a_n}成等比数列．
（Ⅱ）由an=(

1

9

)n-1a1(n∈N)，能够导出

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）的值．

解答：（Ⅰ）证明：记r_n为圆O_n的半径，
则r1=

l

2

tan30°=

3

6

l，

rn-1-rn

rn-1+rn

=sin30°=

1

2

．
所以rn=

1

3

rn-1(n≥2)，
于是a1=π

r

1 2

=

πl2

12

，

an

an-1

=(

rn

rn-1

)2=

1

9

故{a_n}成等比数列．
（Ⅱ）解：因为an=(

1

9

)n-1a1(n∈N)，
所以

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

a1

1- 1 9

=

3πl2

32

．

点评：本题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，解题时要注意提高逻辑思维能力．