Question

设函数f（x）=x³+mln（x+1）
（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求实数m的值；
（2）求证：；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数的几何意义即可求出；
（2）构造函数，利用导数得出其单调性即可证明；
（3）利用y=sinx在[0，1]上单调递增、在[0，1]上单调递减及定积分的意义即可得出．
解答：解：（1）由f（x）=x³+mln（x+1），得
由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=0，解得m=-6．
（2）∵
等价于
等价于
令m=1，f（x）=x³+ln（x+1）
设h（x）=x²-f（x）=x²-ln（1+x）-x³
则h'（x）==
当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵h（0）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，即x²-ln（x+1）＜x³恒成立．
∵k∈N*，∴取，则有＜，
∴＜，
即 ．
（3）∵y=sinx在[0，1]上单调递增，
∴=＜=n（-cosx）=n（1-cos1）．
又在[0，1]上单调递减，
∴==＜dx=nln（1+x）=nln2．
∴．
点评：熟练掌握导数的几何意义、通过构造函数利用导数得出其单调性证明不等式、利用y=sinx在[0，1]上单调递增、在[0，1]上单调递减及定积分的意义是解题的关键．