题目内容
设函数f（x）=x3-3x2-9x-1．求：
（Ⅰ）函数在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
（Ⅰ）函数在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．
分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程即可；
（2）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间．
（2）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间．
解答：解：f′（x）=3x2-6x-9 …（2分）
（1）f′（1）=3×12-6×1-9=-12
∴切线方程为y+12=-12（x-1）即12x+y=0 …（6分）
（2）令f′（x）=3x2-6x-9＞0⇒x＞3或x＜-1 …（8分）
令f′（x）=3x2-6x-9＜0⇒-1＜x＜3…（10分）
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），函数f（x）的单调增区间为（-1，3）…（12分）
（1）f′（1）=3×12-6×1-9=-12
∴切线方程为y+12=-12（x-1）即12x+y=0 …（6分）
（2）令f′（x）=3x2-6x-9＞0⇒x＞3或x＜-1 …（8分）
令f′（x）=3x2-6x-9＜0⇒-1＜x＜3…（10分）
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），函数f（x）的单调增区间为（-1，3）…（12分）
点评：本题给出三次多项式函数，利用导数研究曲线上某点切线方程并用导函数讨论了函数f（x）的单调区间．着重考查了多项式函数的导数公式和利用导数研究函数的单调性等知识，属于基础题．
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