题目内容
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+5（a＞0）（1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，当x∈[-4，4]时，求函数f（x）的最大值．
分析：（1）由题意得f′（x）=3（x-
）（x+a）（a＞0），所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（
，+∞），减区间为（-a，
），所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（
）=0，因为a＞0所以a=3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，
∈[1，2]，当4≤a≤6时，因为函数f（x）在[-4，
）上单调递减，在（
，4]上单调递增，所以f（-4）-f（4）=8（a2-16）≥0，所以f（x）max=f（-4）=4a2+16a-59，同理得当3≤a＜4时，f（x）max=f（4）=-4a2+16a+69；
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
（2）由题知-a∈[-6，-3]，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
解答：解：（1）由题意得f′（x）=3x2+2ax-a2=3（x-
）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞
，由f′（x）＜0得-a＜x＜
，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（
，+∞），减区间为（-a，
），
即当x=-a时，函数取极大值f（-a）=a3+5，
当x=
时，函数取极小值f（
）=-
a3+5，
又f（-2a）=-2a3+5＜f（
），f（2a）=10a3+5＞f（-a），
所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（
）=0，
注意到a＞0，所以f（
）=-
a3+5=0，即a=3．
故a的值是3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，
∈[1，2]，
当-a≤-4即4≤a≤6时，
函数f（x）在[-4，
）上单调递减，在（
，4]上单调递增，
注意到f（-4）-f（4）=8（a2-16）≥0，
所以f（x）max=f（-4）=4a2+16a-59；
当-a＞-4即3≤a＜4时，
函数f（x）在[-4，-a）上单调增，在（-a，
）上单调减，在（
，4]上单调增，
注意到f（-a）-f（4）=a3+4a2-16a-64=（a+4）2（a-4），
所以f（x）max=f（4）=-4a2+16a+69；
综上，f（x）max=
．
| a |
| 3 |
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
即当x=-a时，函数取极大值f（-a）=a3+5，
当x=
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| 5 |
| 27 |
又f（-2a）=-2a3+5＜f（
| a |
| 3 |
所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（
| a |
| 3 |
注意到a＞0，所以f（
| a |
| 3 |
| 5 |
| 27 |
故a的值是3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，
| a |
| 3 |
当-a≤-4即4≤a≤6时，
函数f（x）在[-4，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
注意到f（-4）-f（4）=8（a2-16）≥0，
所以f（x）max=f（-4）=4a2+16a-59；
当-a＞-4即3≤a＜4时，
函数f（x）在[-4，-a）上单调增，在（-a，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
注意到f（-a）-f（4）=a3+4a2-16a-64=（a+4）2（a-4），
所以f（x）max=f（4）=-4a2+16a+69；
综上，f（x）max=
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点评：本题考查利用导数解决极值问题通过极值求出参数，利用参数的范围与定义域的关系讨论函数的单调性，进而得到函数的最大值．本题利用了分类讨论的思想这是数学上的一个很主要的数学思想．
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