Question

试用两种方法证明：
（1）；
（2）．

Answer 1

方法一：用组合数的公式证明，方法二：用数学归纳法证明

试题分析：（1）证明：方法1  由
令，得.               3分
方法2  数学归纳法
①当时，显然成立；
②假设当时，，
则当时，由
所以，


由①②，等式对于任意恒成立.
7分
方法3 含个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证
（方法1给4分，其他方法6分）
（2）方法1
先证.
，（注意）
，
所以。                          9分
所以
          11分
方法2   由，
两边求导，得，        14分
令，得.       15分
点评：数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法，另外关于组合数的等式常常利用组合数的性质证明