Question

（本题满分14分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂；且
点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F₁的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF₂B的面积为，求以F₂为圆
心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

解：(1)设椭圆的方程为，由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F₁(-1,0），F₂(1,0)． ………………2分

,又c="1," b²=4-l=3,
故椭圆的方程为．…………4分
(2)当直线l⊥x轴，计算得到：
，不符合题意，…………………6分
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k(x+1)，
由，消去y得
显然△>O成立，设
则  ………………8分
又
即 ' …………………………………………10分
又圆F₂的半径    ……………………………11分
所以
化简，得，即，解得k=±1，……l3分
所以，，故圆F₂的方程为：(x-1)²+y²=2．……………l4分
(2)另解：设直线l的方程为x=ty-1，
由，消去x得，△>O恒成立，
设,则
所以
又圆F₂的半径为
所以，解得t²=1，
所以．故圆F₂的方程为：

略