Question

（本小题满分14分）

已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足

，．数列满足，为数列的前n项和．

(Ⅰ)求、和；

(Ⅱ)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ) 解法一：在中，令，，

得   即                        ……………………(2分)

解得，，                                       …………(3分)

．

，

．               …………(5分)

解法二：是等差数列，

．                           ……………(2分)

由，得 ，                      

又，，则．                      ……………(3分)

(求法同法一)

（Ⅱ）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．                        …………(6分)

 ，等号在时取得．           

此时 需满足．                                      ……………(7分)

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．                        ……………(8分)

 是随的增大而增大， 时取得最小值．

此时 需满足．                                     ……………(9分)

综合①、②可得的取值范围是．                      …………………(10分)

（Ⅲ），

 若成等比数列，则，即．……(11分)

（法一）由，　　可得，

即，   　　                                    ………(12分)

．                                        ……………(13分)

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列． ……………(14分)

（法二）因为，故，即，

，（以下同上）．                           ……………(13分)