Question

【题目】椭圆 （）的离心率为，其左焦点到点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线 与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明详见解析，.

【解析】试题分析：（1）利用椭圆的离心率和两点间的距离公式可得的值，再利用椭圆的标准方程及其性质求出的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）把直线的方程与椭圆的方程联立，可得根与系数的关系，在利用以为直径的圆过椭圆的右顶点，可得，即可得出与的关系，即可得出答案．

试题解析：（1）由题：①

左焦点到点的距离为：②

由①②可解得，，．

所求椭圆的方程为．

（2）设、，将代入椭圆方程得

，

，，且，

为直径的圆过椭圆右顶点，所以．

所以

．

整理得． 或都满足．

若时，直线为，恒过定点，不合题意舍去；

若时，直线为，恒过定点．