Question

15．（x-a）（x-b）-2=0（a＜b）的两个实根是α，β（α＜β），则实数α，β，a，b的大小关系为α＜a＜b＜β．

Answer 1

分析 方法1：首先把方程化为一般形式，由于α，β是方程的解，根据根与系数的关系即可得到a，b，α，β之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．
方法2，w=x²-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b）则函数y的图象可以看成把函数w的图象向下平移2个单位得到的，可得实数a，b，α，β的大小关系．

解答 解：方法1：方程化为一般形式得：x²-（a+b）x+ab-2=0，
∵α，β是方程（x-a）（x-b）-2=0的两根，
∴α+β=a+b
∴当α＞a时，又∵a＜b，α＜β则：a＜α＜β＜b；
当α＞b时，β＜a，又∵a＜b，α＜β，则不成立．
方法2：令w=（x-a）（x-b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x-a）（x-b）-2的图象是将w向下平移2个单位得到，则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．
故答案为：α＜a＜b＜β．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，函数图象的平移规律，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．