Question

【题目】如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，E是棱BC上的动点，F是线段PE的中点．

（Ⅰ）求证：平面ADF；

（Ⅱ）若直线DE与平面ADF所成角为30°，求EC的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

方法1：（Ⅰ）取棱PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，

由，可得，由平面PAB，可得，利用线面垂直的判断定理可以证明平面ADF；

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知平面AMND，在平面PBC内作，交MN于H，则平面AMND，连结DH，则就是直线DE与平面ADF所成角，即.通过三角函数，勾股定理，最后可以求出EC的长；

方法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出的坐标，设出点坐标，求出坐标.

（Ⅰ）求出平面ADF的法向量和向量的坐标表示，从而可以证明平面ADF；

（Ⅱ）设直线DE与平面ADF所成角为，求线面角的坐标表示公式，可以求出点坐标，最后求出EC的长．

方法1：（Ⅰ）取棱PB，PC的中点分别为M，N，

连结AM，MN，ND，

因为，所以，

又因为平面PAB，平面PAB，

所以，且，

所以平面ADF．

（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）知平面AMND，在平面PBC内作，交MN于H，则平面AMND，连结DH，则就是直线DE与平面ADF所成角，即.

又因为，所以，得到．

因为，所以，

所以，故．

方法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

.

（I），

设平面ADF的法向量为，

则，从而取.

又，所以，从而平面ADF．

（Ⅱ）设直线DE与平面ADF所成角为，

由，平面ADF的法向量为，

故，解得，

所以，因此．