Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-2）与$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，则sinθ+cosθ等于（　　）

• A． $\frac{{-\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinθ-2cosθ=0，tanθ=2．可得sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$．由于θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，可得sinθ+cosθ=$\sqrt{（sinθ+cosθ）^{2}}$=$\sqrt{1+2sinθcosθ}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinθ-2cosθ=0，
∴tanθ=2．
∴sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{2}{{2}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$．
∵θ∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴sinθ+cosθ=$\sqrt{（sinθ+cosθ）^{2}}$=$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+2×\frac{2}{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．