Question

在△ABC中，若（a+b+c）（a-b+c）=3ac，且tanA+tanC=3+

3

，AB边上的高为4

3

，求角A，B，C的大小与边a，b，c的长．

Answer 1

分析：利用余弦定理，结合（a+b+c）（a-b+c）=3ac可求B，利用和角的正切公式，结合tanA+tanC=3+

3

可求A、C，再利用正弦定理求边．

解答：解：（a+b+c）（a-b+c）=3ac，a²+c²-b²=ac，cosB=

1

2

，B=600
tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

，-

3

=

3+ 3

1-tanAtanC

，tanAtanC=2+

3

，联合tanA+tanC=3+

3

得

tanA=2+ 3 tanC=1

或

tanA=1 tanC=2+ 3

，即

A=750 C=450

或

A=450 C=750

当A=75°，C=45°时，b=

4 3

sinA

=4(3

2

-

6

)，c=8(

3

-1），a=8
当A=45°，C=75°时，b=

4 3

sinA

=4

6

，c=4(

3

+1），a=8
∴当A=75°，B=60°，C=45°时，a=8，b=4（3

2

-

6

)，c=8(

3

-1），
当A=45°，B=60°，C=75°时，a=8，b=4

6

，c=4(

3

+1）．

点评：本题主要考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，正确利用公式是关键．