Question

在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状是（　　）

• A、直角三角形
• B、等腰直角三角形
• C、等腰三角形
• D、等边三角形

Answer 1

分析：通过（a+b+c）（b+c-a）=3bc化简整理得b²-bc+c²=a²，利用余弦定理中求得cosB，进而求得B=60°，把B代入sinA=2sinB cosC中化简整理求得tanA，进而求得A，最后根据三角形内角和求得C，进而可判断三角形的形状．

解答：解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc
∴（b+c）²-a²=3bc
b²+2bc+c²-a²=3bc
b²-bc+c²=a²
根据余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA
∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=

1

2

∴A=60°
sinA=2sinBcosC
sin（B+C）=2sinBcosC
∴sin（B-C）=0
B=C，∵A=60°，∴B=C=60°
∴△ABC是等边三角形
故选D．

点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式．