Question

【题目】已知数列满足：，其中.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）令，求数列的最大项.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）最大项为.

【解析】

试题（1）首先根据已知等式，令，可得，再根据已知等式可得，将两式相减，即可得到数列的一个递推公式，只需验证将此递推公式变形得到形如的形式，从可证明数列是等比数列；（2）由（1）可得，从而，因此要求数列的最大项，可以通过利用作差法判断数列的单调性来求得：，

当时，，即；当时，； 当时，，即，因此数列的最大项为.

试题解析：（1）当时，，∴，

又∵，

∴，即，∴.

又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列；

（2）由（1）知，，

∴， ∴，

当时，，即，

当时，，

当时，，即，

∴数列的最大项为，