Question

已知tan(α-β)=

1

2

，tanβ=-

1

7

，且α，β∈（0，π），求2α-β的值．

Answer 1

分析：观察角度的关系发现2α-β=2（α-β）+β，求出tan2（α-β），然后利用两角和的正切函数求出tan（2α-β），再根据tanα、tanβ的值确定α，β的具体范围，进而确定2α-β的范围，就可以根据特殊角的三角函数值求出结果．

解答：解：∵2α-β=2（α-β）+β，…（2分）
又tan(α-β)=

1

2

，∴tan2(α-β)=

2tan(α-β)

1-tan2(α-β)

=

4

3

…（4分）
故tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=

tan2(α-β)+tanβ

1-tan2(α-β)tanβ

=

4 3 - 1 7

1+ 4 3 × 1 7

=1．…（6分）
又∵tanα=tan[(α-β)+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)+tanβ

=

1

3

＜1，…（7分）
且0＜α＜π，∴0＜α＜

π

4

，∴0＜2α＜

π

2

．                           …（9分）
又tanβ=-

1

7

，且β∈（0，π）?β∈(

π

2

，π)?-β∈(-π，-

π

2

)．         …（11分）
∴2α-β∈（-π，0）．又tan（2α-β）=1，∴2α-β=-

3π

4

．           …（13分）

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意找角度的关系．