Question

已知数列{a_n}满足a 1=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：Tn＜

4

15

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，从而可得，

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，从而可证数列列{

1

an

}是等差数列，可求a_n
（2）由已知可得bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)，利用裂项即可求解数列的和

解答：证明：（1）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1
两边同时除以a_na_n+1可得，

1

an+1

-

1

an

=

3

2

∴数列列{

1

an

}是以

1

a1

=

5

2

为首项，以

3

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=

5

2

+

3

2

(n-1)=

3n+2

2

∴a_n=

2

3n+2

解：（2）bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

4

3

(

1

5

-

1

3n+5

)＜

4

15

点评：本题主要考查了利用数列的 递推公式求解数列的通项公式，数列的裂项求和方法的应用，属于基础试题