Question

(本小题满分14分)设椭圆与抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中:
 
1)求，的标准方程, 并分别求出它们的离心率；
2)设直线与椭圆交于不同的两点，且（其中坐标原点），请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1），，，。（2）。

试题分析：（1）∵焦点在x轴上，且椭圆与抛物线的中心与顶点在原点，又过点，
故点在椭圆上，点在抛物线上
，
∴点在上，
设
把点代入得，

由抛物线知
（2）由得
若l与x轴垂直，则l:x=1
由
设不满足
若存在直线l不与x轴垂直，可设为
设
由

    

      
所求的直线为
点评：（1）做第一问的关键是确定哪两个点在椭圆上，哪两个点在抛物线上。（2）在求直线与圆锥曲线相交的有关问题时，通常采用设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理。