Question

20．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都是1，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，E、F分别为A₁B₁与BB₁的中点，求异面直线BE与CF所成的角．

Answer 1

分析 由已知得A-BA₁D和C₁-B₁CD₁均为在四面体，B-A₁B₁CD-D₁为正八面体，A₁B₁CD为正方形，棱长边长均为1，作FG∥BE，交A₁B₁于G，连CE，由此利用余弦定理能求出异面直线BE与CF所成的角．

解答 解：∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都是1，
且∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，E、F分别为A₁B₁与BB₁的中点，
∴A-BA₁D和C₁-B₁CD₁均为在四面体，
B-A₁B₁CD-D₁为正八面体，A₁B₁CD为正方形，棱长边长均为1，
作FG∥BE，交A₁B₁于G，连CE，
则CF=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，FG=$\frac{BE}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，B₁G=$\frac{1}{4}$，CG=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∴cos∠CFG=$\frac{F{G}^{2}+C{F}^{2}-C{G}^{2}}{2FG•CF}$=-$\frac{1}{6}$，
∵异面直线BE与CF所成角的余弦值为$\frac{1}{6}$，
∴异面直线BE与CF所成的角为arccos$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，注意余弦定理的合理运用．