Question

10．求满足下列条件的函数f（x）．
（1）f（x）是三次函数，且f（0）=3，f′（0）=0，f′（1）=-3，f′（2）=0；
（2）f′（x）是一次函数，x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1．

Answer 1

分析 （1）设出函数解析式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），由f（0）=3求得d，再求出导函数，结合f′（0）=0，f′（1）=-3，f′（2）=0列式求得a，b，c的值，则函数解析式可求；
（2）由f′（x）是-次函数，可设f′（x）=ax+b（a≠0），求出其原函数，代入x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1，整理后比较系数列式求得a，b，c的值，则答案可求．

解答 解：（1）设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∵f（0）=3，∴d=3，
∴f（x）=ax³+bx²+cx+3，f′（x）=3ax²+2bx+c，
由f′（0）=0，f′（1）=-3，f′（2）=0，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3a+2b+c=-3}\\{12a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-3，c=0．
∴f（x）=x³-3x²+3；
（2）∵f′（x）是-次函数，
∴可设f′（x）=ax+b（a≠0），
则f（x）=$\frac{1}{2}a{x}^{2}+bx+c$（a≠0），
由x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1，得
${x}^{2}（ax+b）-（2x-1）（\frac{1}{2}a{x}^{2}+bx+c）-1=0$，
即$（\frac{1}{2}a-b）{x}^{2}-（2c-b）x+c-1=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}a-b=0}\\{2c-b=0}\\{c-1=0}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2，c=1．
∴f（x）=2x²+2x+1．

点评 本题考查导数的运算，考查了利用待定系数法求函数解析式，是基础题．