题目内容

设数列{a_n}满足 $数学公式$ ，令 $数学公式$ ．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？
（2）若 $数学公式$ ，求{c_n}前n项的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1
∴b_n+1=b_n+1，
所以数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）得：b_n+1=b_n+1且b₁=1，∴b_n=n，
即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（3）设存在m，n满足条件，则有1•a_n=a_m²
∴ $\text{[math]}$ ，
即4（n²-1）=（m²-1）²，
所以m²-1必为偶数，设为2t，
则n²-1=t²，∴n²-t²=1
∴（n-t）（n+t）=1，
∴有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，即n=1，t=0，
∴m²-1=2t=0，∴m=1与已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N^*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列．
分析：（1）将条件化为 $\text{[math]}$ ，根据 $\text{[math]}$ ，可得b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，从而数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）可求数列{b_n}的通项，从而可得 $\text{[math]}$ ，由此可求数列{a_n}的通项，由于 $\text{[math]}$ ，利用裂项法可求{c_n}前n项的和S_n；
（3）设存在m，n满足条件，则有1•a_n=a_m²，从而可化简为4（n²-1）=（m²-1）²，所以m²-1必为偶数，设为2t，从而可有n-t）（n+t）=1，所以有 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，即n=1，t=0，进而引出矛盾，问题得解．
点评：本题以数列的递推式为载体，考查等差数列的定义，考查裂项法求数列的和，同时考查了存在性问题，解题的关键是构造新数列，利用假设存在，转化为封闭型问题．