Question

如图，已知四边形是正方形，平面，，，,,分别为,,的中点.              

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？

若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

  

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.    

（Ⅱ）因为平面，所以.

又因为，，

所以平面.

由已知,分别为线段,的中点，

所以.

则平面.

而平面，

所以平面平面.  

（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面.证明如下：

   在直角三角形中，因为,,所以.

在直角梯形中，因为，,所以，

所以.又因为为的中点，所以.

要使平面，只需使.

因为平面，所以，又因为，,

所以平面，而平面，所以.

若，则∽,可得.

由已知可求得，，，所以.