题目内容
已知数列{an}满足an+1=2an，且a3+2是a2，a4的等差中项．
①求数列{an}的通项公式；
②若bn=anlog
an，Sn=b1+b2+b3+…bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的n的最小值．
①求数列{an}的通项公式；
②若bn=anlog
| 1 | 2 |
分析：①根据题意，{an}是公比为q=2的等比数列，由a3+2是a2、a4的等差中项建立关于a2的方程，解出a2=4算出a1=2，从而可得数列{an}的通项公式；
②由①算出bn=-n•2n，从而得出Sn的表达式，利用错位相减法求和与等比数列的求和公式算出Sn=（1-n）2n+1-2，代入不等式Sn+n•2n+1＞50，解之即可找到满足条件的n的最小值．
②由①算出bn=-n•2n，从而得出Sn的表达式，利用错位相减法求和与等比数列的求和公式算出Sn=（1-n）2n+1-2，代入不等式Sn+n•2n+1＞50，解之即可找到满足条件的n的最小值．
解答：解：①由an+1=2an，可得数列{an}是公比为q=2的等比数列，
∵a3+2是a2、a4的等差中项，
∴a2+a4=2（a3+2），可得a2+4a2=2（2a2+2），解之得a2=4，
因此a1=
=2，可得an=a1•qn-1=2n；
②∵an=2n，∴bn=anlog
an=2n•log
2n=-n•2n，
因此，Sn=-1×21-2×22-3×23-…-n•2n，
∴-Sn=1×21+2×22+3×23-…+n•2n，…（1）
两边都乘以2，得-2Sn=1×22+2×23+3×24-…+n•2n+1，…（2）
用（1）-（2）得：Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
-n•2n+1=（1-n）2n+1-2，
∴不等式Sn+n•2n+1＞50，即（1-n）2n+1-2+n•2n+1＞50，
化简得2n+1-2＞50，即2n+1＞52，解之得n的最小值为5．
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的n的最小值等于5．
∵a3+2是a2、a4的等差中项，
∴a2+a4=2（a3+2），可得a2+4a2=2（2a2+2），解之得a2=4，
因此a1=
| a2 |
| q |
②∵an=2n，∴bn=anlog
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因此，Sn=-1×21-2×22-3×23-…-n•2n，
∴-Sn=1×21+2×22+3×23-…+n•2n，…（1）
两边都乘以2，得-2Sn=1×22+2×23+3×24-…+n•2n+1，…（2）
用（1）-（2）得：Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
∴不等式Sn+n•2n+1＞50，即（1-n）2n+1-2+n•2n+1＞50，
化简得2n+1-2＞50，即2n+1＞52，解之得n的最小值为5．
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的n的最小值等于5．
点评：本题给出等比数列满足的条件，求它的通项并依此解关于n的不等式．着重考查了等比数列的通项公式、求和公式和数列求和的一般方法等知识，属于中档题．
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