Question

6．已知函数f（x）=lnx-ax²+x，其中a为常数，e为自然对数的底数
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）若函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在区间（1，e）内有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最值；
（2）若函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在区间（1，e）内有零点，可得函数f（x）=lnx-ax²+x在区间（1，e）内有零点，令f（x）=0，可得a=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，构造函数，求导数，确定单调性，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，
∴f′（x）=$\frac{-（x-1）（2x+1）}{x}$，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=1时，函数f（x）取得极大值，也是最大值f（1）=0，无最小值；
（2）函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在区间（1，e）内有零点，可得函数f（x）=lnx-ax²+x在区间（1，e）内有零点，
令f（x）=0，可得a=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，则h′（x）=$\frac{x+{x}^{2}lnx-{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
在区间（1，e）内h′（x）=$\frac{x+{x}^{2}lnx-{x}^{2}}{{x}^{4}}$＞0，函数单调递增，
∵h（1）=1，h（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$，
∴1＜h（x）＜$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$，
∴1＜a＜$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查函数的零点，正确构造函数、求导数是关键．