Question

7．已知（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，则a的最大值为1-2ln2．

Answer 1

分析 问题转化为a（ $\frac{1+lnx}{x}$-1）min对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-1，求出函数f（x）的最小值即可求出a的最大值．

解答 解：（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-1对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立
?a≤（ $\frac{1+lnx}{x}$-1）min对于任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立
设f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-1，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，则f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（$\frac{1}{2}$）或f（2）最小，
而f（$\frac{1}{2}$）=1-2ln2，f（2）=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
∴a的最大值是1-2ln2，
故答案为：1-2ln2．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、等价转化思想与导数法求极值的综合应用，求得f（x）的最小值是关键，属于中档题．