Question

4．如图所示的四面体ABCD中，AB⊥AD，CD⊥DB，BD=DC=5，AB=4．
（1）当AC的长为多少时，面ABD⊥面BCD；
（2）当点D到面ABC的距离为3时，求该四面体ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）按照逆向思维，假设面ABD⊥面BCD，得出CD⊥AD，继而求解AC的值；
（2）由已知可得AD⊥面ABC，将待求体积进行转化：V_A-BCD=V_D-ABC，利用已知条件求解即可．

解答 解：（1）若面ABD⊥面BCD，
∵面ABD∩面BCD=BD，又CD⊥BD，则CD⊥面ABD，∴CD⊥AD．
由已知可得AD=3，则$AC=\sqrt{C{D}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{34}$．
∴当AC的长为$\sqrt{34}$时，面ABD⊥面BCD；
（2）∵点D到面ABC的距离为3，且AD=3，∴AD⊥平面ABC，则AD⊥AC，
∴$AC=\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}=4$，又CD⊥DB，BD=DC=5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，取BC中点E，连接AE，则AE=$\sqrt{A{C}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•AE=\frac{5\sqrt{7}}{2}$．
∴${V}_{A-BCD}={V}_{D-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{7}}{2}×3=\frac{5\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判断，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．