Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+lo{g}_{2}x，x＞0}\\{{2}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，函数g（x）=f[f（x）]-$\frac{1}{2}$的三个零点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则（　　）

• A． x₂+x₃=$\frac{3}{4}$
• B． x₂+x₃=1
• C． x₁+x₂=$\frac{1}{4}$
• D． x₁+x₂=-$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 令f[f（x）]-$\frac{1}{2}$=0，从而可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或f（x）=-1，再讨论分别求解，从而确定三个零点，从而解得．

解答 解：令f[f（x）]-$\frac{1}{2}$=0，
即1+log₂f（x）-$\frac{1}{2}$=0或2^f（x）-$\frac{1}{2}$=0，
解得，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或f（x）=-1，
若f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则1+log₂x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或2^x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则log₂x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1或x=-$\frac{1}{2}$，
若f（x）=-1，
则1+log₂x=-1，
故x=$\frac{1}{4}$，
故x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{4}$，log₂x₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1；
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及复合函数的性质的应用．